Question

选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，它在点处的切线为直线.

(I)求直线的直角坐标方程；

(Ⅱ)已知点为椭圆上一点，求点到直线的距离的取值范围.

Answer

(1) .

(2) .

【解析】

试题分析：（1）对曲线的极坐标方程两边乘以化为直角坐标方程.利用导数可求得曲线在处的切线方程.（2）设出椭圆的参数方程，利用点到直线距离公式和三角恒等变换的知识，可求得到直线距离的取值范围.

试题解析：

选修4-4：坐标系与参数方程

【解析】
（Ⅰ）∵曲线的极坐标方程为，

∴，∴曲线的直角坐标方程为，

又的直角坐标为（2,2），

∵，∴.

∴曲线在点（2,2）处的切线方程为，

即直线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）为椭圆上一点，设，

则到直线的距离，

当时，有最小值0.

当时，有最大值.

∴到直线的距离的取值范围为[0, ].