Question

已知函数， .

（Ⅰ）若为奇函数，求的值并判断的单调性（单调性不需证明）；

（Ⅱ）对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ) . 在上单调递增.(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)函数为奇函数，则恒成立.据此可得.此时，在上单调递增.

(Ⅱ)由题意可知，而.据此分类讨论：

①当时有；

②当时有；

③当时不成立.

则正实数的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）∵为奇函数，∴恒成立.

∴.此时，在上单调递增.

（Ⅱ）， ，∴

.

①当时， 在上单调递增，∴， ，∴

②当时， 在上单调递减，在上单调递增.

∴， ，∴

③当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴， ，不成立.

综上可知， .