Question

已知函数，其中， 为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时， ，求实数的取值范围．

Answer

（1）单调递增区间： ，单调递减区间： ， ；（2）．

【解析】试题分析：（Ⅰ） ，令，当， ， 单增， ， ， 单减； （Ⅱ）令，即恒成立，而，利用导数的性质和零点存在定理，即可求出结果．

试题解析：（Ⅰ） ，

令，

当， ， 单增，

， ， 单减；

（Ⅱ）令，

即恒成立，而，

令，

∵， 在上单调递增， ，

当时， ， 在上单调递增， ，符合题意；

当时， 在上单调递减， ，与题意不合；

当时， 为一个单调递增的函数，而， ，

由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，

当时， ，从而在上单调递减，

从而，与题意不合，综上所述： 的取值范围为．