Question

已知函数

(1)当时，求函数的单调增区间；

(2)若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；

（2）求出f（x）导数，求得切线的斜率和切点，可得切线方程，由题意可得关于x的方程有且只有一个解，即有且只有一个解．令，求出导数，对m讨论，求出单调区间，运用单调性即可得到m的范围．

试题解析：

(1)由题意知， ，

所以.

令得，所以函数的单调增区间是

所以曲线在点处的切线的方程为，

因为与曲线有且只有一个公共点,

即关于的方程有且只有一个解，

即有且只有一个解.

令，

则.

①时，由得，由，得，

所以函数在上为增函数，在上为减函数,

又，故符合题意；

②当时，由，得或，由，得，

所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，

又，且当时， ，此时曲线与轴有两个交点，

故不合题意；

③当时， 在上为增函数，且，

故符合题意；

④当，由，得或，由，得，

所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，

又，且当 时， ，此时曲线与轴有两个交点，

故不合题意；

综上，实数的取值范围或.