Question

如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于， 两点.若直线斜率为 时， .

(1)求椭圆的标准方程；

(2)试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．

Answer

（1）；（2）以为直径的圆过定点.

【解析】试题分析：第一问根据椭圆的离心率和对应的弦长，求出对应的的值，从而得出椭圆的方程，第二问设出两点的坐标，从而求得直线和直线的方程，从而求得点的坐标，从而写出以为直径的圆的方程，根据点在椭圆上，以及曲线过定点的条件，从而求得所过的定点的坐标．

试题解析：（Ⅰ）设，

∵直线斜率为时， ，

∴，

∴

∴，

∵，∴．

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）以为直径的圆过定点．

设，则，且，即，

∵，∴直线方程为： ，

∴，

直线方程为： ，∴，

以为直径的圆为

即，

∵，∴，

令， ，解得，

∴以为直径的圆经过定点： ．