Question

如图，某市有一条东西走向的公路，现欲经过公路上的处铺设一条南北走向的公路．在施工过程中发现在处的正北1百米的处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以为圆心， 1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路，欲再新建一条公路,点 分别在公路上，且求与圆相切．

(1)当距处2百米时，求的长；

(2)当公路长最短时，求的长.

Answer

(1)当距处2百米时， 的长为百米；(2)当公路长最短时， 的长为百米.

【解析】试题分析：题目中涉及到直线与圆相切的条件，一般在平面直角坐标系中研究，所以先建立合适的坐标系；（1）已知点,则设直线的方程，可设截距（或点斜式），利用圆心到直线的距离等于半径，求得的坐标，从而得到的长；（2）研究长的最小值，则需要建立目标函数，选择合适的变量，本小题依然可以设直线的两个截距，则容易表示出的长和直线方程，由相切再得到两截距间的关系，消元后则得到一个一元的函数，再利用导数研究它的最小值；

试题解析：

以为原点，直线、分别为轴建立平面直角坐标系．

设与圆相切于点，连结，以百米为单位长度，则圆的方程为，

（1）由题意可设直线的方程为，即， ，

∵与圆相切，∴，解得，

故当距处百米时， 的长为百米．

（2）设直线的方程为，即， ，

∵与圆相切，∴，化简得，则，

令，∴ ，

当时， ，即在上单调递减；

当时， ，即在上单调递增，

∴在时取得最小值，故当公路长最短时， 的长为百米．

答：（1）当距处百米时， 的长为百米；（2）当公路长最短时， 的

长为百米．