Question

[2018·郴州期末]已知三棱锥中，垂直平分，垂足为，是面积为的等边三角形，，，平面，垂足为，为线段的中点．

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成的角的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

（1）要证线面垂直，一般先证线线垂直，这可由和是等边三角形及O是AB中点易得；

（2）要求直线与平面所成的角，一种方法作出线面角的平面角，然后解三角形得结论，也可建立空间直角坐标系，如解析中的坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，由方向向量与法向量的夹角与直线和平面所成角互余可得．

试题解析：

（1）证明：∵垂直平分，垂足为，∴.

∵，∴是等边三角形.

又是等边三角形.

∴是中点，，.

∵，，平面，∴平面.

（2）【解析】
由（1）知，平面平面.

因为平面与平面的交线为.

∵平面.∴.

又等边面积为，∴

又，∴ 是中点.

如图建立空间直角坐标系，

，，，

所以，，

设平面的法向量为，则

，取，则，.

即平面的一个法向量为.

所以与平面所成角的正弦值为.