Question

如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形， 为正三角形， 分别为的中点， 且， .

（1）求证： 平面；

（2）求证： 平面；

（3）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：

（1）取取的中点，连接，根据条件可证得四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理可得结论．（2）由条件可得平面，故得；又正三角形中，可得平面．（）由（1）、（2）可知平面，故为与平面所成的角，解三角形可得，即与平面所成角的正弦值为．

试题解析：

（1）证明：如图1，取的中点，连接，

因为分别为的中点，

所以，

又，

所以，

因为为的中点， ，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面， 平面，

所以平面.

（2）证明：因为， ，

所以．

在正方形中， ，

又，

所以平面．

又平面，

所以，

在正三角形中，

又，

所以平面．

（3）如图2，连接，

由（1）、（2）可知平面．

所以为与平面所成的角.

在中， ， ，

所以，

所以，

即与平面所成角的正弦值为．