Question

已知函数， .

（1）讨论的单调性；

（2）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=x2﹣2lnx﹣x，x1，x2是函数g（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2，可得x12﹣2lnx1﹣x1=0，x22﹣2lnx2﹣x2=0，两式相减化简可得x1+x2﹣1= ，再对g（x）求导，判断的符号即可证明

试题解析：

（1）依题意知函数的定义域为，且.

①当时， ，所以在上单调递增.

②当时，由得： ，

则当时；当时.

所以在单调递增，在上单调递减.

（2）不是导函数的零点.

证明如下：由（Ⅰ）知函数.

∵， 是函数的两个零点，不妨设，

∴，两式相减得：

即：

又.

则

.

设，∵，∴，

令， .

又，∴，∴在上是増函数，

则，即当时， ，

从而，

又所以，

故，所以不是导函数的零点.