Question

设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意求得a，b的值即可确定椭圆方程；

（Ⅱ）分类讨论，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围

试题解析：

（1）由题意知，则，

圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，

所以，又，得．

所以椭圆的方程为：.

（2）可知椭圆右焦点．

（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，

可得：，，四边形面积为12.

（ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，

可得：，，四边形面积为.

（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为 ，并设，.

由得.

显然，且， .

所以.

过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，

所以.

故四边形面积：.

可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,).

综上，四边形面积的取值范围为．