Question

在如图所示的几何体中， ， ， ， ， ，二面角的大小为.

（1）求证： 平面；

（2）求平面与平面所成的角（锐角）的大小；

（3）若为的中点，求直线与平面所成的角的大小.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可得AC⊥CD，AC⊥CB，即∠BCD为二面角B﹣AC﹣E的平面角，即∠BCD=60°，求解三角形可得BD⊥DC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCD，得到AC⊥BD，进一步得到BD⊥平面ACDE；

（Ⅱ）由BD⊥平面ACDE，得BD⊥DC，BD⊥DE，可得DB，DC，DE两两垂直，分别以DB，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BAE与平面BCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BCD与平面BAE所成的角；

（Ⅲ）若F为AB的中点，由（II）可得，进一步得到，由已知可得平面BDE的一个法向量为，由与所成角的余弦值的绝对值可得直线EF与平面BDE所成角的大小．

试题解析：

（1）因为，则， ，

所以为二面角的平面角，即，

在中， ， ， ，

所以，所以，即，

由， ，且，可知平面，

又平面，所以，

又因为， 平面， 平面，

所以平面．

（2）由平面得， ，又，即， ， 两两垂直，

则以， ， 分别为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．

由（I）知， 则， ， ，

由得，

依题意， ，

设平面的一个法向量为，

则，即，不妨设，可得，

由平面可知平面的一个法向量为

设平面与平面所成的角（锐角）为，

所以，于是，

所以平面与平面所成的角（锐角）为．

（3）若为的中点，则由（II）可得，所以，

依题意平面，可知平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，则

，所以直线与平面所成角的大小．