Question

如图，在三棱柱中， 为边长为2的等边三角形，平面平面，四边形为菱形， ， 与相交于点.

（1）求证： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质可得，根据平面平面，可得平面，∴；（2）以为原点，以所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组，求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得二面角的余弦值.

试题解析：（1）已知侧面是菱形， 是的中点，

∵，∴

因为平面平面，且平面，

平面平面，

∴平面，∴

（2）如图，以为原点，以所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，

由已知可得， ， ，

∴， ， ， ，

设平面的一个法向量

， ，

由， ，得

，可得

因为平面平面， ，

∴平面

所以平面的一个法向量是

∴

即二面角的余弦值是.

【方法点晴】本题主要考查面面垂直的性质定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.