Question

已知函数．

（1）当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的值；

（2）当时，

① 若对于任意，恒有，求的取值范围；

② 若，求函数在区间上的最大值．

Answer

(1) ；(2)①. ；②.

【解析】试题分析：（1）当时，考虑的解，化简后得到或者，它们共有两个不同的零点，所以必有解，从而．

（2）在上恒成立等价于在上恒成立，因此考虑在上的最小值和在上的最大值即可得到的取值范围．

（3）可化为，则当或 时， 在上递增；当时， 在上单调递增，在上单调递减，两类情形都可以求得函数的最大值．当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此，比较的大小即可得到的表达式．

解析：（1）当时， ，由解得或，由解得或．因为恰有两个不同的零点且，所以，或 ，所以．

（2）当时， ，

①因为对于任意，恒有， 即 ，即，因为时， ，所以， 即恒有 令， 当时， ， ，所以， 所以， 所以．

②

当时， ，

这时在上单调递增，此时；

当时， ，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以， ，

而 ，

当时， ;

当时， ；

当时， ，

这时在上单调递增，在上单调递减，此时；

当时， ， 在上单调递增，此时；

综上所述， 时，