Question

已知四棱锥，四边形是正方形， ．

（1）证明：平面平面；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值．

Answer

(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）由可得，即，由为正方形，可得，从而得平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设的中点为，∵，∴，面面垂直的性质可得平面，在平面内，过作直线，则两两垂直，以为坐标原点， 所在直线为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）∵，

∴，即，

又∵为正方形，∴，

∵，

∴平面，∵平面，∴平面平面；

（2）

设的中点为，∵，∴，

由（1）可知平面平面，且平面平面，

∴平面，

在平面内，过作直线，则两两垂直．

以为坐标原点， 所在直线为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，

则，

∴，

设平面的法向量为，

则， ，即，取，

设平面的法向量为，

则， ，即，取，

，由图可知，二面角的余弦值为．

【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.