Question

如图，已知所在的平面， 是的直径， 是上一点，且是中点， 为中点．

（1）求证： 面；

（2）求证： 面；

（3）求三棱锥的体积．

Answer

(1)见解析(2) 见解析（3）

【解析】试题分析：（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只需证与面内一直线平行即可，根据中位线定理可知，又面面，满足定理所需条件； （2）由面面，则，而是的直径，则，又，则面，由于所以面；（3）根据面，则即为三棱锥的高，将三棱锥的体积转化成三棱锥的体积，根据锥体的体积公式进行求解即可.

试题解析：（1）证明：在三角形中， 是中点， 为中点，

∴， 平面平面，∴面；

（2）证明：∵面， 平面，∴，

又∵是的直径，∴，

又，∴面，

∵，∴面；

（3）∵，∴，

在中，∵，∴，

∴．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.