Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）证明：当时， ；

（Ⅲ）确定实数的值，使得存在，当时，恒有.

Answer

(1) (2)见解析（3）

【解析】【试题分析】（I）先求函数的定义域，然后求导令导数大于零即可求得函数的递增区间.（II）构造函数，利用导数求得函数在时函数值小于零，由此证得不等式成立.（III）由（II）可知时不存在.当时，有，则，故也不存在.当时，构造函数，利用导致证得不等式成立，故.

【试题解析】

（Ⅰ）， .

由得解得.

故的单调递增区间是.

（Ⅱ）令， .

则有.

当时， ，

所以在上单调递减，

故当时， ，即当时， .

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意.

当时，对于，有，则，从而不存在满足题意.

当时，令， ，

则有 .

由得， .

解得， .

当时， ，故在内单调递增.

从而当时， ，即，

综上， 的取值范围是.