Question

已知函数，且在和处取得极值.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) (2) 存在，且或时，曲线与轴有两个交点

【解析】【试题分析】（1）利用两个极值点处导数为零列方程组求解出的值.（2）化简得出的表达式，利用导数求函数的单调区间，要使函数与轴有两个交点，则需函数的极大值或极小值为零.由此求得的取值范围.

【试题解析】

（Ⅰ）

因为在和处取得极值，

所以和是的两个根，

则，解得

经检验符合已知条件，故.

（Ⅱ）由题意知

另得， 或，

随着变化情况如下表所示：

由上表可知，

又取足够大的正数时， ，

取足够小的负数时， ，

因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，

得： 或

∴或

即存在，且或时，曲线与轴有两个交点.