Question

已知动圆在运动过程中，其圆心到点与到直线的距离始终保持相等.

（1）求圆心的轨迹方程；

（2）若直线与点的轨迹交于两点，且，求的值．

Answer

(1) 圆心的轨迹方程为;(2) .

【解析】试题分析：

（1）根据题意及抛物线的定义可得圆心的轨迹方程为．（2）将直线方程与抛物线方程联立消元后得到一二次方程，根据二次方程根据系数的关系和弦长公式可得．

试题解析：

（1）∵圆心到点与到直线的距离相等，

∴圆心的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线，

设其方程为，

则，解得．

∴圆心的轨迹方程为．

（2）由消去整理得，

∵直线与抛物线交于两点，

∴，解得．

设，

则，

由题意得

，

解得，

又，

∴．