Question

设函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，证明： .

Answer

（1）当， 取得极小值；当时， 取得极大值；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）当时， ，求导，然后利用求极值的一般步骤即可得到的极值；

（2）证明：当时， ， ，

则证明上述不等式成立，即证明.

设，利用导数研究的性质可得.，

再令，利用导数研究的性质可得所以，

所以，即.

试题解析：（1）当时， ，

，

当时， ， 在上单调递减；

当时， ， 在上单调递增；

当时， ， 在上单调递减.

所以，当， 取得极小值；

当时， 取得极大值.

（2）证明：当时， ， ，

所以不等式可变为.

要证明上述不等式成立，即证明.

设，则，

令，得，

在上， ， 是减函数；在上， ， 是增函数.

所以.

令，则，

在上， ， 是增函数；在上， ， 是减函数，

所以，

所以，即，即，

由此可知.