Question

椭圆： 的离心率为，椭圆截直线所得的弦长为.过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点，直线与圆： 相切于点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求直线的方程和圆的半径.

Answer

(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）由题意布列方程组求椭圆方程；（2）联立得；联立得，易得，解得.

试题解析：

（Ⅰ）由题意知， ，即，∴，∵由椭圆截直线所得的弦长为，∴弦在第一象限的端点的坐标为，∴，将代入上式，解得.∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，设，∵，∴，∴，设直线的方程为，联立，得，∴；联立，得，∵，∴，且；∴，解得，∴，∴.