Question

已知长方体中， 为的中点， 在棱上， ， .

（1）若异面直线与互相垂直，求的长；

（2）当四棱锥的体积为时，求证：直线平面.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：如图，以为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.得到相应点和相应向量的坐标，利用空间向量的夹角公式可得的长

（2）证明：因为是长方体， 在棱上，所以平面，

所以四棱锥的体积，解得.

此时为的中点，所以. 利用空间向量的知识可证得直线平面..

试题解析：（1）如图，以为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则， ， ， ， ， ， .

设，则， ，

因为，所以，即，解得.

所以，当异面直线与互相垂直时， .

（2）证明：因为是长方体， 在棱上，所以平面，

所以四棱锥的体积 ，解得.

此时为的中点，所以.

由（1）可知， ， .

设平面的法向量为，则，即，

令，得， ，所以，

因为，

所以，因为直线平面，

所以直线平面.