Question

某商场建成后对外出租，租赁付费按年收取，标准为：每一个商铺租赁不超过1年收费20万元，超过1年的部分每年收取15万元（不足1年按1年计算）.现甲、乙两人从该商场各自租赁一个商铺，两人的租赁时间都不超过3年.设甲、乙租赁时间不超过1年的概率分别为， ；租赁时间1年以上且不超过2年的概率分别为， .甲、乙租赁相互独立.

（1）求甲租赁付费为50万元的概率；

（2）求甲、乙两人租赁付费相同的概率；

（3）设甲、乙两人租赁付费之和为随机变量，求的分布列与数学期望.

Answer

（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）设“甲租赁时间不超过1年”为事件，“甲租赁时间1年以上且不超过2年”为事件，“甲租赁时间为2年以上且不超过3年”为事件.由题意知， ，由事件互斥，可求即为甲租赁付费为50万元的概率；

（2）甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况：都是20万元，都是35万元，都是50万元，

分别求出三种情况下的概率，求和即可得到甲、乙两人租赁付费相同的概率；

（3）由题意知，甲、乙两人租赁付费之和的可能取值为40，55，70，85，100.

求出各种情况下的概率可得分布列和期望.

试题解析：（1）设“甲租赁时间不超过1年”为事件，“甲租赁时间1年以上且不超过2年”为事件，“甲租赁时间为2年以上且不超过3年”为事件.

由题意知， ，

又事件互斥，所以.

所以甲租赁付费为50万元的概率是.

（2）甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况：都是20万元，都是35万元，都是50万元，

则都是20万元的概率为： ，

都是35万元的概率为： ，

都是50万元的概率为： ，

所以，甲、乙两人租赁付费相同的概率是.

（3）由题意知，甲、乙两人租赁付费之和的可能取值为40，55，70，85，100.

；

；

；

；

.

所以的分布列为：

所以的数学期望 .