Question

已知椭圆的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.

(1)求椭圆的方程；   

(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

(1) (2) 线段上存在点

【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法，即列两个独立条件， 解出， （2）先化简等式： 得，其中为线段的中点为，即所以直线为直线的垂直平分线，直线的垂直平分线过点，以下转化为中点弦问题，可利用韦达定理，也可利用点差法，得出t的函数解析式，根据对应参数（直线斜率或中点坐标）的取值范围确定实数的取值范围

试题解析：（1）由题意知，又，所以，

，所以椭圆的方程为： ；

（2）设直线的方程为： ，代入，得：

，设，线段的中点为，

则，

由得： ，

所以直线为直线的垂直平分线，

直线的方程为： ，

令得： 点的横坐标，

因为， 所以，所以．

所以线段上存在点使得，其中．