已知函数
.
（1）讨论函数
在
上的单调性；
（2）证明： 
且
.
如图，椭圆
： 
的焦距与椭圆
： 
的短轴长相等，且
与
的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为
，直线
经过
在
轴正半轴上的顶点
且与直线
（
为坐标原点）垂直， 
与
的另一个交点为
， 
与
交于
， 
两点.
（1）求
的标准方程；
（2）求
.
如图，在直四棱柱
中， 
， 
， 
， 
.
（1）证明: 
平面
.
（2）比较四棱锥
与四棱锥
的体积的大小.
为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了
个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位： 
）记录下来并绘制出如下的折线图：
（1）分别计算甲、乙两厂提供的
个轮胎宽度的平均值；
（2）轮胎的宽度在
内，则称这个轮胎是标准轮胎.
（i）若从甲乙提供的
个轮胎中随机选取
个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率
；
（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的
个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？
已知
是函数
的前
项和， 
.
（1）证明：当
时， 
；
（2）若等比数列
的前两项分别为
，求
的前
项和
.
在四面体
， 
，则
