Question

已知函数， .

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明．

Answer

(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】【试题分析】（1）先求函数的定义域，然后求导通分，对分成两类，讨论函数的单调区间.（2）结合（1）的结论，将原不等式转化为，构造函数，利用导数求得的最小值为，由此证得原不等式成立.

【试题解析】

（1）函数的定义域为，且.

当时， ， 在上单调递增；

当时，若时，则，函数在上单调递增；若时，则，函数在上单调递减.

（2）由（1）知，当时， .

要证，只需证，

即只需证

构造函数，则.

所以在单调递减，在单调递增.

所以.

所以恒成立，

所以.