Question

已知椭圆C： 经过点，且离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线： 与椭圆C交于两个不同的点A，B，求面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer

(1) ；(2) .

【解析】【试题分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，结合椭圆离心率和，列方程组，求出的值.由此求得椭圆方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理和判别式.根据弦长公式和点到直线距离公式，求得面积的表达式，最后利用基本不等式求最大值.

【试题解析】

（1）由题意，知考虑到，解得

所以，所求椭圆C的方程为.

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，

整理得.

由，得. ①

设， ，则， .

于是

.

又原点O到直线AB： 的距离.

所以.

因为，当仅且当，即时取等号.

所以，即面积的最大值为.