Question

如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形， ， .

（1）求证：平面平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】【试题分析】（1）取的中点，连接，利用等边三角形的性质，得到，通过计算证明，由此证明平面，从而得到平面平面.（2）利用（1）的结论，以为高，计算体积

【试题解析】

（1）取AC的中点O，连接BO，PO.

因为ABC是边长为2的正三角形，

所以BO⊥AC，BO=.

因为PA⊥PC，所以PO=.

因为PB=2，所以OP2+OB2=PB2，所以PO⊥OB.

因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.

又OB⊂平面ABC，

所以平面PAB⊥平面ABC．

（2）因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，

所以.

由（1）知BO⊥平面PAC.

所以.