Question

如图，三棱柱的所有棱长都是， 平面， ， 分别是， 的中点．

（）求证： 平面．

（）求二面角的余弦值．

（）求点到平面的距离．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）1

【解析】试题分析:（1）根据三角形相似得，根据直棱柱性质得，又由等边三角形性质得，所以由线面垂直判定定理得平面，即，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角的余弦值．（3）根据向量投影得点到平面的距离为，再利用向量数量积求夹角可得结果

试题解析：（）证明：∵平面， 平面，∴，

∵是等边三角形，∴，又，

∴平面，

以为原点建立空间直角坐标系如图所示：

则， ， ， ， ，

∴， ， ，

∴， ，∴， ，

又，∴平面．

（）， ，

设平面的法向量为，则，∴，

令得，又为平面的法向量，

∴二面角的余弦值为 ．

（）， ， ，

∴直线与平面所成角的正弦值为，∴点到平面的距离为．