Question

已知点P(2，－1)．

(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

Answer

（1）x＝2或3x－4y－10＝0； （2）

【解析】试题分析：第一步首先考虑直线的斜率不存在的情况，然后可设直线方程的点斜式，根据原点到直线的距离为2，列方程求出斜率，得出直线方程；第二步过P点且与原点距离最大的直线就是过P点与OP垂直的直线，P点与原点距离就是原点到直线距离的最大值，OP长即为所求.

试题解析：

(1)①当l的斜率k不存在时显然满足要求，

∴l的方程为x＝2；

②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0.

由点到直线距离公式得，

∴k＝，∴l的方程为3x－4y－10＝0.

故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与 PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以＝－＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，

即2x－y－5＝0.

即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，

最大距离为.