Question

如图，抛物线： 与椭圆： 在第一象限的交点为， 为坐标原点， 为椭圆的右顶点， 的面积为.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在直线符合条件

【解析】试题分析：（1）设，因为的面积为，求得，代入抛物线即可求，则抛物线方程可求；（2），则设法求出与的表达式，并找到它们之间的联系.为此，设直线的方程为.与联立，设， ，可知， .直线OC的方程为，与联立并整理得，则可求，直线方程可得.

试题解析：（1）因为的面积为，设，所以，

代入椭圆方程得，抛物线的方程是： .

（2）存在直线符合条件. 显然直线不垂直于y轴，故直线的方程可设为.与联立，设，

理由：显然直线不垂直于y轴，故直线的方程可设为，

与联立得.

设， ，则， ，

∴.

由直线OC的斜率为

，故直线OC的方程为，与联立得

，同理， ，

所以.

可得，

要使，只需，

即，解得，

所以存在直线符合条件.