Question

如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面， ， ， 是棱的中点.

（Ⅰ）证明：平面⊥平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（I）易证得平面,再由面面垂直的判定定理即可证得平面平面；(II)设棱锥的体积为,易求得，三棱术的体积为,于是得,从而可得答案.

试题解析： （I）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，

∴DC1⊥BC．

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，

∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，

∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，

∴平面BDC1⊥平面BDC；

（II）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，

又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，

∴（V﹣V1）：V1=1：1，

∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．