Question

已知 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆离心率，直线通过点,且倾斜角是45°.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，求的面积.

Answer

(1) ；(2) .

【解析】试题分析：(1)由焦点坐标可得由离心率，可得,从而可得进而可得椭圆的标准方程；(2)由点斜式可得直线的方程为： 将代入椭圆，求出的坐标利用两点间的距离公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得的面积.

试题解析：(1)由已知，又，

∴椭圆的标准方程是

(2)因为,

所以直线的方程为：

将代入椭圆中整理得，

,

可解得,

∴,

点到直线的距离为： ,

.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.