Question

已知函数 .

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求证： .

Answer

(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）函数的定义域为，且.原问题转化为考查二次函数的性质可得：

当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间，

当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）当时，原问题等价于.构造函数，则.结合导函数的性质可知当时， 取得最大值，即， 成立.

试题解析：

（1）的定义域为， .

考虑.

①当，即时， 恒成立， 在上单调递增；

②当，即或时，由得.

若，则恒成立，此时在上单调递增；

若，则，

此时或；

.

综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间，

当时， 的单调递增区间为，

单调递减区间为.

（2）当时， .

令，

.

当时， ；当时， ，

∴在上单调递增，在上单调递减，即当时， 取得最大值，

故，即成立，得证.