Question

已知抛物线上一点的纵坐标为4，且点到焦点的距离为5.

（1）求抛物线的方程；

（2）设斜率为的两条平行直线分别经过点和，如图. 与抛物线交于两点， 与抛 物线交两点.问：是否存在实数，使得四边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) ；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）由抛物线定义知，点到抛物线的准线的距离为5，据此计算可得，则抛物线的方程为.

（2）设直线的方程为： .联立直线方程与抛物线方程有，结合弦长公式可得.同理可得，利用平行线直接距离公式可得四边形的高为，结合面积公式可得关于斜率的方程求解方程可得满足条件的的值为.

试题解析：

（1）由抛物线定义知，点到抛物线的准线的距离为5.

∵抛物线的准线为，∴，

解得，∴抛物线的方程为.

（2）由已知得，直线.

由 消去得，

这时， 恒成立， .

同理，直线，由 消去得，

由得， ，

又∵直线间的距离，

则四边形的面积.

解方程得， 有唯一实数解2 (满足大于1)，

∴满足条件的的值为.