Question

已知.

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求的值.

Answer

(1)见解析（2）

【解析】试题分析：

（1）的定义域为，求导可得.则考查函数的单调性只需考查二次函数的性质可得：

当时， 在上单调递增；

当时， 在和上单调递增，

在上单调递减.

（2）原问题等价于， 恒成立. 构造函数，令，则， ，即在时取得最大值.

.由解得.经检验可得a=1符合题意.故.

试题解析：

（1）的定义域为， .

∵.

令，则

（a）若，即当时，对任意， 恒成立， 即当时， 恒成立（仅在孤立点处等号成立）.

∴在上单调递增.

（b）若，即当或时， 的对称轴为.

①当时， ，且.

如图，任意， 恒成立， 即任意时， 恒成立，

∴在上单调递增.

②当时， ，且.

如图，记的两根为

∴当时， ；

当时， .

∴当时， ，

当时， .

∴在和上单调递增，在上单调递减.

综上，当时， 在上单调递增；

当时， 在和上单调递增，

在上单调递减.

（2）恒成立等价于， 恒成立.

令，则恒成立等价于， .

要满足式，即在时取得最大值.

∵.

由解得.

当时， ，

∴当时， ；当时， .

∴当时， 在上单调递增，在上单调递减，从而，符合题意.

所以， .