Question

函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）已知当（其中是自然对数）时，在上至少存在一点，使成立，求的取值范围；

（3）求证：当时，对任意， ，有.

Answer

(1) 递增区间为和，递减区间为．(2) ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）易知的定义域为，再求导由 得： 或 ，讨论两根和定义域的关系，由导数的正负求单调区间即可；

（2）题中条件等价于当时， ，进而求即可；

（3）构造辅助函数，并求导得，当时， ， 为减函数，有，变形即可证得.

试题解析：

（1）易知的定义域为．

．

由 得： 或 ．

∵，∴．

∴时， 为增函数；

时， 为减函数；

时， 为增函数，

∴函数的递增区间为和，

递减区间为．

（2）在上至少存在一点，使成立，

等价于当时， ．

∵，∴．

由（Ⅰ）知， 时， 为增函数， 时， 为减函数．

∴在时， ．

∴．

检验，上式满足，所以是所求范围．

（3）当时，函数．构造辅助函数，

并求导得．

显然当时， ， 为减函数．

∴ 对任意，都有成立，即．

即．

又∵，

∴．