Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， 和均为等边三角形，且平面平面，点为的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）先证四边形为矩形 ， ，再证得， ， 四边形是平行四边形 面；(2)先建立坐标系求得面、面的法向量分别为， ， 所求的余弦值： .

试题解析：（1）过点作交于点，连接；

取的中点，连接

∵是等边底边的中线，

∴.

∵，

∴四边形为矩形，

∴， .

∵为底边的中位线

∴， ，

∴， ，

四边形是平行四边形，

∴，

∵面，

∴面.

（2）以点为坐标原点， 为轴正方向， 为单位长度建立空间直角坐标系

如图所示，各个点的坐标为， ， ，

因此向量， ， .

设面、面的法向量分别为， ，

则，不妨令，解得，同理得

设平面与平面所成的锐二面角为，

则