Question

已知函数（， ）.

（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值和最小值；

（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围.

Answer

（1）最大值为8，最小值为（2）

【解析】试题分析：（1）先根据切线方程为x+y﹣3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值；

（2）由题意得：函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．

试题解析：

(1)最大值为8，最小值为；(2) .

（1）∵在上，∴，

∵点在的图象上，∴，

又，∴，

∴，解得，

∴， ，

由可知和是的极值点.

∵， ， ， ，

∴在区间上的最大值为8，最小值为

（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以函数在上存在零点.

而的两根为， ，

若， 都在上，则解集为空集，这种情况不存在；

若有一个根在区间上，则或，

∴