Question

.函数f（x）=e^x+x²+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为__

Answer

2

【解析】∵f（x）=ex+x2+x+1，

∴f′（x）=ex+2x+1，

∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3=0对称，

∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．

直线2x﹣y﹣3=0的斜率k=2，

由f′（x）=ex+2x+1=2，

即ex+2x﹣1=0，

解得x=0，

此时对于的切点坐标为（0，2），

∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y=2x﹣3，

两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3=0的最小距离，

此时d==，

由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d=2．

故答案为：2．