Question

已知椭圆，过点作圆的切线，切点分别为．直线恰好经过的右顶点和上顶点．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦， ．

①设中点分别为，证明：直线必过定点，并求此定点坐标；

②若直线， 的斜率均存在时，求由四点构成的四边形面积的取值范围．

Answer

（1）；（2） ．

【解析】试题分析：(1)首先根据与圆相切的两条直线求得点的坐标，然后求得直线的方程，由此可求得椭圆的方程；(2) ①直线斜率均存在，设出直线、的方程，然后分别联立椭圆方程，结合韦达定理求得点的坐标，再结合中点求得斜率，从而求得定点；②将①中直线的方程代入椭圆方程中，然后将的长度表示出来，再结合基本不等式即可求出范围．

试题解析：(1)过作圆的切线，一条切线为直线，切点.

设另一条切线为，即.

因为直线与圆相切，则，解得，所以切线方程为.

由，解得，直线的方程为,即.

令，则所以上顶点的坐标为，所以；令，则，

所以右顶点的坐标为，所以，所以椭圆的方程为.

(2) ①若直线斜率均存在，设直线,则中点. 先考虑的情形.

由得.

由直线过点，可知判别式恒成立.

由韦达定理，得，故，

将上式中的换成，则同理可得.

若，得，则直线斜率不存在. 此时直线过点.

下证动直线过定点.

② 当直线的斜率均存在且不为时，

由①可知，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得,

所以

.

同理， ，

，

因为，当且仅当时取等号，

所以，即，

所以，由四点构成的四边形面积的取值范围为.