Question

如图，已知平面 平面， 与分别是棱长为1与2的正三角形， // ，四边形为直角梯形， // ， ，点为的重心， 为中点， .

（Ⅰ）当时，求证： //平面；

（Ⅱ）若直线与所成角为，试求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式探求.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）连延长交于，

因为点为的重心，所以

又，所以，所以// ；

因为// ， // ，所以平面//平面，

又与分别是棱长为1与2的正三角形，

为中点， 为中点, // ,又// ，

所以// ，得四点共面

//平面

（Ⅱ）平面 平面，易得平面 平面，

以为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系，

则，设，

， ，

因为与所成角为，所以，

得， ， ，

设平面的法向量，则，取，

面的法向量，所以二面角的余弦值。