Question

已知椭圆过点，离心率；

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和，证明为定值.

Answer

(1) (2) 见解析

【解析】试题分析：（1）依题意： 解得a,b的值即可求得椭圆的方程；

（2）易知，1）当直线（或）与轴重合时， 2）当直线（或）与轴不重合时，不妨设，则，

将代入，根据韦达定理解得弦长 将代换可得即可解得为定值.

试题解析：

（1）依题意： .

所以椭圆的方程为；

（2）易知，

1）当直线（或）与轴重合时，

， ，

则，

2）当直线（或）与轴不重合时，

不妨设，则，

将代入整理得：

，

设， ，由韦达定理

， ，

∴

，

将代换可得；

∴

综上1）2）可知， 为定值.