Question

如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）直线方程为或.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.

（1）由题意，，即，，即 2分

又得：

∴椭圆的标准方程：． 5分

(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为

联立，解得或，

不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．

而

所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为

消去得，

设，则这两点的“椭点”坐标分别为

由根与系数关系得： 9分

若使得以为直径的圆过坐标原点，则

而，∴

即，即

代入，解得：

所以直线方程为或． 12分