Question

已知函数， ．

（Ⅰ）求的最大值与最小值；

（Ⅱ）若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）时的最大值为， 时函数取得最小值为．（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，研究函数的弹道学，结合函数单调性求最值即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时， ，故对任意， 恒成立，整理得恒成立，记， ． ，求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）∵函数，∴ 令，得，

∴，当时， ；当时， ；

∴在上是单调减函数，在上是单调增函数，

∴在处取得极小值；

又， ，

∵，∴，

∴，

∴时的最大值为， 时函数取得最小值为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

当时， ，故对任意， 恒成立，

只要对任意恒成立，即恒成立，

记， ． ，解得，

即实数的取值范围是．