Question

已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间上恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）y＝x（2）a≤

【解析】试题分析：

（1）根据导数的几何意义求解．（2）当x＝0时，f(0)＝0恒成立；当0＜x≤时分离参数可得在上恒成立，设g(x)＝，x∈(0， ]，利用导数可得函数g(x)的最小值为g()＝，故可得a≤，即为所求范围．

试题解析：

（1）因为f(x)＝exsinx－ax2，

所以f(x)＝ex(cosx＋sinx)－2ax，

故f(0)＝1．

又f(0)＝0，

故所求切线方程为y＝ x．

（2）①当x＝0时，f(0)＝0在区间上恒成立．

②当0＜x≤时，由得在上恒成立．

令g(x)＝，x∈(0， ]，

则g(x)＝．

令G(x)＝x(sinx＋cosx)－2sinx，x∈(0， ]，

则G(x)＝(cosx－sinx)(x－1)，

故当0＜x＜时，G(x)＜0，G(x)单调递减；

当＜x＜1时，G(x)＞0，G(x)单调递增；

当1＜x≤时，G(x)＜0，G(x)单调递减，

又G(0)＝0，G(1)＝cos1－sin1＜0，

所以G(x)＜0，

所以g(x)＜0，

所以g(x)在(0， ]上单调递减，

所以g(x)≥g()＝，

故a≤．

综上实数的取值范围为．