Question

已知抛物线： 的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.

(1)求的取值范围；

(2)设线段的中点分别为点，证明：直线过定点.

Answer

(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)见解析

【解析】试题分析：

（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立方程组，利用判别式求出的一个范围，另外直线的方程为与抛物线方程联立同样又得出的一个范围，两者求交集即得；

（2）设，利用韦达定理可得即点坐标，用代替可得点坐标，计算出，得证结论．

试题解析：

（1）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，

整理得ky2－4y＋8＝0， ①

由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．

直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，

整理得y2＋4ky－8k＝0，

由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．

所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}．

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．

由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M(－，)．

同理可得N(2k2＋2k，－2k)．

直线MQ的斜率kMQ＝＝，

直线NQ的斜率kNQ＝＝＝kMQ，

所以直线MN过定点Q(2，0)．