Question

已知椭圆，焦距为2，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作圆的切线，切点分别为，直线与轴交于点，过点的直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为，求的面积的最大值.

Answer

(1) (2) 面积的最大值为3

【解析】试题分析：(Ⅰ)由椭圆的焦点为，离心率为，求出，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)由题意，得、 、、 四点共圆，该圆的方程为，得的方程为，直线的方程为，设，则，从而最大， 就最大，可设直线的方程为，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出的面积的最大值.

试题解析：(Ⅰ)由题意, ,解得,由,解得;

所以椭圆的标准方程为.

(Ⅱ)由题意,得四点共圆,该圆的方程为,

又圆的方程为,故直线的方程为,

令,得,即点的坐标为,则点关于轴的对称点为.

设,则,因此最大, 就最大,

由题意直线的斜率不为零,可设直线的方程为,

由得,

所以,

又直线与椭圆交于不同的两点,则,即,

,

令,则,

令,则函数在上单调递增,

即当时, 在上单调递增,因此有；

所以,当时取等号.

故面积的最大值为3.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法面积的最大值的.