Question

如图，在三棱柱中， 平面， ， ， 是的中点， 是等腰三角形， 是的中点， 是上一点.

（Ⅰ）若，证明： 平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.

Answer

(1) 见解析(2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）以为原点，以所在的直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；
（Ⅱ）（Ⅰ）知平面的一个法向量为， ，由此利用向量法能求出直线与平面所成角的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）证明：因为平面，又，

所以以为原点，以所在的直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示.

设，又是等腰三角形，

所以， ， ， ，

所以， .

设平面的法向量为，

则，即，可得，

令，则，所以是平面的一个法向量.

又， 是的中点，所以， ，所以，

由于，所以，

又平面，所以平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量为， ， ， ，设直线与平面所成角的大小为，则，

又，所以，即直线与平面所成角的余弦值为.