Question

已知为抛物线： 的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.

(1)求的取值范围；

(2)设线段的中点分别为点，求证： 为钝角.

Answer

（1）{k|－＜k＜0或k＞2}（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）由题意可设直线m的方程为y＝k(x－2)，将其代入抛物线方程后可得到一二次方程，根据判别式大于零可得k＜0，或k＞2．同理设直线n的方程为y＝t(x－2)，可得t＜0，或t＞2．根据以kt＝－1，可解得k＞0或－＜k＜0，从而可得所求范围．（2）由（1）可得点M(2k，2k2－2k)，N(2t，2t2－2t)，根据F(0，1)可得到的坐标，通过证明且不共线可得为钝角．

试题解析：

（1）由题可知k≠0，设直线m的方程为y＝k(x－2)，

由消去y整理得x2－4kx＋8k＝0，①

因为直线直线m交于不同的两点，

所以Δ＝16k2－32k＞0，

解得k＜0，或k＞2．

设直线n的方程为y＝t(x－2)，

由消去y整理得x2－4tx＋8t＝0，

同理由Δ＞0可得t＜0，或t＞2．

因为m⊥n，

所以kt＝－1，

得－，或－，

解得k＞0或－＜k＜0．

故k的取值范围为{k|－＜k＜0或k＞2}．

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．

由①得x1＋x2＝4k，

所以，

故，

所以点M(2k，2k2－2k)．

同理可得N(2t，2t2－2t)，

又F(0，1)，

所以＝(2k，2k2－2k－1)， ＝(2t，2t2－2t－1)，

＝4kt＋(2k2－2k－1)(2t2－2t－1)，

将kt＝－1代入上式可得，

＝－2k2－2t2＋6(k＋t)－3＝－2(k＋t)2＋6(k＋t)－7＝－2(k＋t－)2－＜0

因为2k(2t2－2t－1)－2t(2k2－2k－1)＝2(＋k)≠0，

所以与不共线．

所以可得∠MFN为钝角．