Question

如图，在四棱椎中，底面是边长为4的正方形，平面平面，二面角为， .

(1)求证： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

（1）由平面PCD⊥平面ABCD可得AD⊥平面PCD，从而可得PD⊥AD，所以得到∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角，故∠PDC＝30°，在△PDC中，由余弦定理可得PD＝2，

所以PD2＋PC2＝CD2，可得PD⊥PC，进而可得PD⊥BC，由线面垂直的判定方法可得PD⊥平面PBC．（2）建立空间直角坐标系，由（1）可知， 是平面PBC的一个法向量，可求得平面PAB的一个法向量，根据两平面的法向量的夹角的余弦值可得二面角的余弦值．

试题解析：

（1）因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，

所以AD⊥平面PCD，

又PD平面PCD，

则PD⊥AD，

所以∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角，

所以∠PDC＝30°，

在△PDC中，由余弦定理可得PD＝2，

所以PD2＋PC2＝CD2，

所以PD⊥PC，

又因为PD⊥AD，AD∥BC，

所以PD⊥BC．

又因为PC∩BC＝C，

所以PD⊥平面PBC．

（2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

则D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0，3，)，

所以＝(0，3，)，＝(－4，3，)，＝(0，4，0)．

由（1）可知， 是平面PBC的一个法向量．

设平面PAB的一个法向量为，

由，可得，

令x＝，得．

所以，

又由图形可得二面角A-PB-C为钝角，

所以二面角A-PB-C的余弦值为．